Чтобы вычислить угол, вам просто нужно вызвать atan2 (v1.s_cross (v2), v1.dot (v2)) для 2D-случая. Где s_cross является скалярным аналогом перекрестного производства (подписанная область параллелограмма). Для 2D-случая это будет производство клина. Для 3D-случая вам нужно определить вращение по часовой стрелке, потому что с одной стороны плоскости по часовой стрелке находится одно направление, с другой стороны плоскости - другое направление =)

Редактировать: это против часовой стрелки, угол по часовой стрелке просто противоположный

Этот ответ такой же, как у MvG, но объясняет это по-разному (это результат моих попыток понять, почему работает решение MvG). Я отправляю его на случай, если другие считают его полезным.

Угол против часовой стрелки theta </​​code> от x до y , относительно точки зрения их заданного нормального n ( || n || = 1 ), задается формулой

atan2 (точка (n, крест (x, y)), точка (x, y))

     

(1) = atan2 (|| x || || y || sin (theta), || x || || y || cos (theta))

     

(2) = atan2 (sin (theta), cos (theta))

     

(3) = угол против часовой стрелки между осью x и вектором (cos (theta), sin (theta))

     

(4) = theta </​​p>

где || x || обозначает величину x .

Шаг (1) следует, отмечая, что

cross (x, y) = || x || || у || sin (theta) n,

и так

точка (n, крест (x, y))

     

= точка (n, || x || || y || sin (theta) n)

     

= || x || || у || sin (theta) dot (n, n)

что равно

<�Р> || х || || у || грех (тета)

if || n || = 1 .

Шаг (2) следует из определения atan2 , отмечая, что atan2 (cy, cx) = atan2 (y, x) , где c является скаляром. Шаг (3) следует из определения atan2 . Шаг (4) следует из геометрических определений cos и sin .

Скалярное (точка) произведение двух векторов позволяет получить косинус угла между ними. Чтобы получить «направление» угла, вы также должны вычислить кросс-продукт, он позволит вам проверить (через координату z) угол по часовой стрелке или нет (т. Е. Вы извлекаете его с 360 градусов или нет).

Если «прямым способом» вы имеете в виду избегать оператора if , то я не думаю, что существует действительно общее решение.

Однако, если ваша конкретная проблема позволила бы потерять некоторую точность в угловой дискретизации, и вы вполне можете потерять некоторое время в преобразованиях типов, вы можете сопоставить разрешенный диапазон phi-угла [-pi, pi] на допустимый диапазон некоторого типа целого числа со знаком , Тогда вы получите бесплатную дополнительную взаимодополняемость. Однако на практике я не использовал этот трюк. Скорее всего, затраты конверсий float-to-integer и integer-to-float перевешивают любую выгоду от прямоты. Лучше устанавливать приоритеты при написании autovectorizable или параллелизуемого кода, когда это вычисление угла сделано много.

Кроме того, если ваши детали проблемы таковы, что существует определенный более вероятный результат для направления углов, то вы можете использовать встроенные функции компиляторов для предоставления этой информации компилятору, чтобы он мог более эффективно оптимизировать ветвление. Например, в случае gcc это функция __ builtin_expect . Это несколько более удобно использовать, когда вы вставляете его в такие макросы скорее всего и маловероятные (например, в ядре linux):

#define likely(x)      __builtin_expect(!!(x), 1)
#define unlikely(x)    __builtin_expect(!!(x), 0)

Для 2D-метода вы можете использовать закон косинусы и метод «направления».

Чтобы вычислить угол сегмента P3: P1 по часовой стрелке до сегмента P3: P2.

 
    P1     P2

        P3

    double d = direction(x3, y3, x2, y2, x1, y1);

   //c
    int d1d3 = distanceSqEucl(x1, y1, x3, y3);

   //b
    int d2d3 = distanceSqEucl(x2, y2, x3, y3);

   //a
    int d1d2 = distanceSqEucl(x1, y1, x2, y2);

    //cosine A = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc
    double cosA = (d1d3 + d2d3 - d1d2)
       /(2 * Math.sqrt(d1d3 * d2d3));

    double angleA = Math.acos(cosA);

    if (d > 0) {
        angleA = 2.*Math.PI - angleA;
    }

This has the same number of transcendental

как предложения выше, и только один более или менее с плавающей запятой.

методы, которые он использует:

 public int distanceSqEucl(int x1, int y1, 
    int x2, int y2) {

    int diffX = x1 - x2;
    int diffY = y1 - y2;
    return (diffX * diffX + diffY * diffY);
}

public int direction(int x1, int y1, int x2, int y2, 
    int x3, int y3) {

    int d = ((x2 - x1)*(y3 - y1)) - ((y2 - y1)*(x3 - x1));

    return d;
}