Несколько проблем здесь.
Во-первых, вы не обращаетесь к ID своего отделения в вашем jQuery - вы обращаетесь к классу, названному bg8. Попробуйте это:
$("#bg8")...
Затем, вы смешиваетесь в некотором родном-dom материале в ваш jQuery. Вместо
document.getElementById('<%=BackgroundsTxt.ClientID%>');
попробовать
$("#<%=BackgroundsTxt.ClientID%>");
и удостоверьтесь, что ID решен, смотря на источник к вашей странице.
И наконец, чтобы установить значение textbox:
theTextBox.val(BackgroundURL);
Ваша целая функция могла быть
$("#bg8").click( function() {
$("#<%=BackgroundsTxt.ClientID%>").val('Styles/hongkongskyline.jpg');
alert('This has worked');
});
Моя стратегия укладчикам тестового мероприятия с простыми тревогами перед хождением дальше к реальной логике.