Объедините вторую часть второй опции этого ответа с указанием значений cookie, которые вы уже есть. Остается сделать это, чтобы определить (и в конечном итоге разобрать) значения cookie и вставить их в свой HttpURLConnection объект, а затем сделать запрос к веб-серверу.
Если вы не уверены, захватили ли вы правильные файлы cookie, вы можете проверить через Wireshark или HTTP Debugger и посмотреть, соответствуют ли они аналогичным образом.
Или ознакомьтесь с сессиями с кукисами с сайта разработчиков Android ,