Параметризация границы множества Мандельброта

Кто-нибудь знает, как параметризовать границу набора Мандельброта? Я не фрактальный геометр или динамический системный человек. У меня просто любопытное отношение к этому вопросу.

Множество Мандельброта обычно определяется как множество $ M $ всех точек $ c \ in \ mathbb {C} $ таких, что итерации функции $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, начиная с $ z = 0 $ , остаются ограниченными навсегда. Наиболее красивые изображения множества Мандельброта показывают $ M $ как пересечение бесконечной последовательности множеств $ M_1 \ supset M_2 \ supset M_3 \ supset \ cdots $, где граница $ M_i $ - это кривая $ | z_i (c ) | = K $. Здесь $ z_i (c) $ является $ i $ -й итерацией $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, начиная с $ z = 0 $, а $ K $ - некоторая константа, которая гарантирует, что будущие итерации исчезнут. Эти кривые $ \ partial (M_i) $ направляют зрителя, чтобы увидеть все более сложные части набора Мандельброта.

Каждая из этих кривых $ \ partial (M_i) $ аналитична и замкнута. Таким образом, они могут быть хорошо параметризованы тригонометрическим рядом. Более конкретно, каждая граница имеет параметризацию вида $$ z (t) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k \ cos (kt) + i \ sum_ {k = 0} ^ \ infty b_k \ sin (kt). $$ (Фактически, поскольку каждая граница $ \ partial (M_i) $ определяется полиномиальным уравнением в вещественной и мнимой частях $ c $, я думаю, что каждая из этих серий должна закончиться. Исправьте меня, если я ошибаюсь.) Я бы что предельный путь должен также иметь некоторую хорошую параметризацию с тригонометрическим рядом. Является ли этот предел одинаковым для всех $ K $? Если предел для всех $ K $ не является одинаковым, то существует ли предел как $ K \ rightarrow \ infty $? Каковы коэффициенты Фурье?

21
Ваша предлагаемая граничная параметризация не представляется однозначно определенной, поскольку, насколько мне известно, нет канонической параметризации единичного времени, а коэффициенты Фурье будут изменены путем повторной калибровки.
добавлено автор ricree, источник
Почему бы просто не параметризовать предельные кривые по длине дуги? Да, длина дуги увеличивается до бесконечности, но вы продолжаете сжимать ее в единичный интервал.
добавлено автор Yursev, источник

6 ответы

Доказательство Лассе расширилось: пусть $ \ psi $ - отображение внешней части единичного диска на внешность множества Мандельброта, причем ряд Лорана $$ \ psi (w) = w + \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n w ^ {- n} = w - \ frac {1} {2} + \ frac {1} {8} w ^ {- 1} - \ frac {1} {4} w ^ {- 2} + \ frac {15} {128} w ^ {- 3} + 0 w ^ {- 4} - \ frac {47} {1024} w ^ {- 5} + \ dots $$ Тогда, конечно, граница множества Мандельброта является образом единичного круга при этом отображении. Однако это зависит от (еще не доказанной) локальной связности этой границы. Здесь для коэффициентов $ b_n $ нет известной замкнутой формы, но они могут быть вычислены рекурсивно. Конечно, положим $ w = e ^ {i \ theta} $, а затем это ряд Фурье.

21
добавлено
Джеральд: Это выглядит довольно хорошо. Является ли это пределом этих граничных кривых? Можете ли вы дать ссылку на рекурсивную формулу для коэффициентов $ b_n $?
добавлено автор J. Chomel, источник
Джеральд: Кажется, я нашел хорошее место в Интернете, чтобы прочитать об этом, « mrob.com /pub/muency/laurentseries.html" ; Спасибо, что указали мне в правильном направлении.
добавлено автор J. Chomel, источник
добавлено автор Adam, источник

Я не совсем уверен, что вы спрашиваете. Граница множества Мандельброта, конечно, не является аналитической кривой. Фактически, знаменитый результат Шишикуры показывает, что граница множества Мандельброта имеет размерность Хаусдорфа 2.

Действительно, даже не известно, является ли граница кривой вообще (то есть локально связной): в настоящее время это, вероятно, самая известная гипотеза в одномерной голоморфной динамике.

Если множество Мандельброта локально связно, то существует естественное описание границы множества Мандельброта (в качестве граничных значений отображения Римана дополнения к $ M $); это также известно как естественное комбинаторное описание во многих отношениях. Однако, как упоминалось выше, эта параметризация не является аналитической или даже $ C ^ 1 $.

10
добавлено
Lassse: Я спрашиваю о граничных кривых $ \ partial (M_i) $, аналитических для всех $ i $ и всех $ K $. Например, если $ K = 2 $, то $ \ partial (M_1) $ является кругом $ | c | = 2 $, $ \ partial (M_2) $ - кривая $ | c ^ 2 + c | = 2 $ , $ \ partial (M_3) $ - кривая $ | (c ^ 2 + c) ^ 2 + c | = 2 $ и т. д.
добавлено автор J. Chomel, источник
Я думал, вы спрашиваете о пределе этих кривых, который является границей множества Мандельброта? Следует упомянуть, что более естественным приближением границы множества Мандельброта было бы наборы уровней униформизирующей функции дополнения к $ M $ («эквипотенциалы»). Если $ K $ достаточно велико, эти эквипотенциалы будут близки к описанным вами кривым.
добавлено автор isomorphismes, источник

Чтобы расширить ответ Джеральда Эдгара, некоторые ключевые фразы для вас: «Дуайд-Хаббардский потенциал» и « внешние лучи .

Внешним лучом является изображение луча $ \ arg z = \ theta $ при фиксированном $ \ theta $ при конформном отображении Джеральда $ \ psi $.

Потенциал Дуади-Хаббарда - это гармоническое сопряжение внешнего аргумента луча: это потенциал для которые внешние лучи являются линиями поля.

Я уверен, что не доказано, что $ \ psi (\ zeta) $ корректно определен для всех $ \ zeta $ на единичном круге, но я думаю, что это предположительно так. (Иногда это выражается в том, что говорят, что внешний луч «приземляется».) Однако внешние лучи под рациональными углами $ 2 \ pi m/n $, как известно, приземляются, и, кроме того, динамика в точках приземления на границе связана до фракции $ m/n $ в действительно хорошем виде. (Существует аналогия между картой удвоения $ \ theta \ mapsto 2 \ theta $ на круге и голоморфные отображения $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, а динамика $ \ theta $ под первым отображением связаны с динамикой отображения $ z \ mapsto z ^ 2 + c_ \ theta $, где $ c_ \ theta $ - точка посадки соответствующего луча на границе множества Мандельброта.) Таким образом, эта параметризация границы действительно является важным и естественным объектом (если она четко определена, как предполагалось).

6
добавлено

$\psi(w)$ is called Jungreis function
Mandelbrot set boundary as the image of unit circle under Jungreis function

Вот некоторые изображения, код и описание, показывающие некоторые параметры:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jungreis.svg - using Jungreis function

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lemniscates5.png

круговая параметризация

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jung200.png

Метод Ньютона:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_set_Component_by_Newton_method.png

круг к компоненту (или его части):

http://commons.wikimedia.org/w/index. PHP название = Файл: Mandelbrot_set_Components.jpg

4
добавлено

Мое предположение заключалось бы в том, что такая параметризация не сработает. Попробуйте что-то подобное для более простой (в определенных точках зрения) структуры, такой как снежинка Коха. Будет ли ваш подход к параметризации позволять вам генерировать функцию на основе $ n $, число рекурсивных итераций, используемых для генерации снежинки на определенную глубину? Я бы не подумал. Вы, возможно, сможете, по крайней мере, для кривой Коха, параметризовать оболочку «резиновой ленты» вокруг нее, но это было бы тривиально для большинства рекурсивно определенных объектов.

1
добавлено

Взгляните на «Внешние углы». По-видимому, линия, идущая из бесконечности под любым углом, всегда оставаясь перпендикулярной потенциальным линиям, в конечном итоге коснется множества.

http://mathr.co.uk/blog/2013-02-01_navigating_by_spokes_in_the_mandelbrot_set.html

http://mathr.co.uk/blog/2013-10-02_islands_in_the_hairs.html

Я все еще пытаюсь выяснить, какая именно математика за ними. Его источники Haskell являются криптографическими для меня.

0
добавлено